어제 @elanlife 님께서 트위터로 다음과 같은 사진을 한 장 보내주셨다.

과천의 국립 현대 미술관의 입구 왼쪽편에 있는 저울을 쌓아놓은 탑인데, 눈금이 좀 어색하다고 생각하셨다는군요. 저의 물리적 직관에 의하면, 각 줄마다 평평한 판을 깔거나, 각 줄의 저울을 이어 붙여서, 하중을 고르게 분산시킬 수 있다면 위의 눈금은 정상인 듯 보입니다. 저울의 개수와 받혀있는 저울의 수를 생각하면 등차 수열이 되기 때문이죠.

근데 문제는, 각 저울이 이어 붙어 있지 않고 따로 분리되어 있다면 중앙 쪽 저울이 양쪽 끝에 있는 저울에 비해 좀 더 많은 하중을 받게 됩니다. 그럴 경우에는 위의 눈금이 틀렸다는 거죠. 어떻게 계산하면 될까요? 그리고 일반항은 어떻게 될까요?

시작하기 전에, 각각의 저울의 무게는 1이고, 그 밑에 있는 저울 양쪽에 반반씩 하중을 전달한다고 가정합니다. (저울의 무게가 N이라고 하면, 계산 결과 전체에 N만 곱하면 됩니다.)

파스칼 삼각형에서의 전통을 따라 맨 위를 0번째 줄, 맨 왼쪽을 0번째 열이라고 합시다. 그리고 n번째 줄, k번째 열의 저울이 받는 하중(눈금)을 w(n,k)라고 정합시다. 이때, 1 \le k \le n-1 이면, 다음과 같은 점화식이 만족할 겁니다.

w(n,k) = \frac{w(n-1,k-1)+1}{2} + \frac{w(n-1,k) +1}{2}

그 외의 경우에는, k=0 혹은 k=n, 두 개의 항 중에서 하나가 없어집니다. 그리고 나면, 이 점화식을 이용해서 개별 눈금이 어떻게 되는지 계산할 수 있습니다.

0
1/2 1/2
3/4 3/2 3/4
7/8 17/8 17/8 7/8
15/16 5/2 25/8 5/2 15/16
31/32 87/32 61/16 61/16 87/32 31/32
63/64 91/32 273/64 77/16 273/64 91/32 63/64

그러면 일반항은 어떻게 표시할 수 있을까? 제가 생각한 답은 다음과 같이 Double Sum 형태로 표시했는데, 좀 더 간단한 형태가 있다면, 알려주시길 바랍니다.

w(n,k) = \left( \sum_{i=0}^{k} \sum_{j=0}^{n-k} \frac{(i+j)!}{i!j!2^{i+j}}\right) - 1

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  1. 유원경 2010.04.09 12:20

    역시 수학자시라 다르십니다.
    깔끔하고 간단한 수식
    고수의 숨결이 느껴집니다.

  2. 키히 2010.04.09 16:08

    내 짧은 생각으론 저울들이 따로 놀더라도 서로 다른 눈금을 보일 수는 없을 것 같아.
    저게 전자 저울이 아니라 스프링 저울이기 때문에 바깥쪽의 저울이 하중을 적게 받는다면 가운데 저울보다 더 높은 위치에 접시가 있을 테고 그렇다면 오히려 더 많이 하중을 받게 되기 때문에 모두 같은 하중을 받는 데서 평형을 이룰 것 같거든?

    잠깐 생각한 것이니 틀릴 수도 있음. ㅋㅋ

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2010.04.09 21:53 신고

      전자 저울이 아닌 스프링 저울이기 때문에 접시의 높이가 달라져 하중이 반반씩 나뉘지 않는다 점은 알고 있었는데.. 그래서 위의 굵은 글자로 표시된 가정이 필요했던 것이기도 하고..

      다만 접시의 높이가 달라지면 생기는 영향에 대해서는 나랑 생각이 다른 것 같네.. 양쪽 접시의 높이가 다르면 위쪽 저울이 조금 기울면서 무게 중심이 이동하여 오히려 낮은 접시쪽으로 하중이 더 옮겨지는 것 아닌가? 그리고 그렇게 되면 결국 무너지지는 않더라도 중간과 양쪽의 하중 차이는 좀 더 벌이지게 될텐데..

  3. 배민수 2010.04.14 20:26

    하....지나가다 한글자 남깁니다;
    저런걸 재미로 풀고 계신걸 보니...
    정말 미치신것 같다는 생각밖에 안듭니다;;;
    정말 대단.. 또 대단하십니다...
    취미가 너무도 남다르시군요.....
    문제만 봐도 헛기침이 막나오는 지나가는 사람이었습니다..;

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2010.04.14 20:55 신고

      제가 하는 일이라는 게 원래 저런 문제 푸는 거라..
      잠깐 생각해서 적어 보았는데, 이게 다른 사람이 보기에는 약간 유별난 행동처럼 보이기도 하겠군요.. ^^;

  4. Favicon of http://franco.tistory.com 키키 2010.04.20 23:12

    오랜만에 하신 포스팅이... ㅎㄷㄷ 역시 전문가는 다르시군요.
    수학자로서 겪는 어려움은 어떤게 있을까요? 사람이 아닌 숫자를 대하는 직업이라.. 궁금합니다.

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2010.04.21 03:57 신고

      사실 조금이라도 수학을 아는 사람들이 보면.. 그냥 우스운 장난일 뿐일텐데요..
      변덕이 없는 수 혹은 추상화된 사물을 대상을 다루다 보니 수학자라는 직업이 다른 직업보다 편하긴 합니다..
      다만, 저의 경우에는 두통이 직업병처럼 생겼다는 정도랄까..
      여행 다니고 놀때는 아무 이상이 없는데, 연구실에서 문제를 풀 때면 두통이 생긴다는..

  5. Favicon of http://adexam.textcube.com 애드민 2010.04.29 21:48

    수식 위엄 쩌네요.

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2010.04.29 22:47 신고

      찬찬히 들여다 보면.. 별 것도 아닌 수식입니다.. ^.^

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