a^b 이 유리수인 무리수 a, b 가 존재할까? 아니면, a와 b가 무리수이면 a^b 는 항상 무리수일까?

직관적으로 생각해 볼 때, a, b 모두 무리수일 때, a^b 가 모두 무리수가 될 것이라고 생각하기 쉽다. 하지만 이 문제는 정답은 "a^b가 유리수가 되는 무리수 a, b가 존재한다." 이고, 이 증명으로 중학교 수준의 풀이가 있다.

a=\sqrt{2}, b=a^a, c=b^a 이라고 하자.

1) b가 유리수라고 하면, a=\sqrt{2} 는 무리수이므로, 우리가 원하는 두 무리수는 a, a 이다.
2) b가 무리수라고 하면,

c=b^a = \left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2

가 되어 유리수가 되므로, 우리가 원하는 두 무리수는 b, a이다.

이 증명은 \sqrt{2}^\sqrt{2}가 유리수인지 무리수인지 증명하지 않았다. 다만, 모든 경우에 대해 우리가 원하는 결론을 이끌어 낼 수 있음을 보였을 뿐이다. 놀랍지 않은가?

사실 \sqrt{2}^\sqrt{2}는 초월수(따라서 무리수)이다. 이에 대한 증명은 Hilbert의 23문제 중 7번째 문제를 풀기 위해 증명된 Gelfond-Schneider 정리(1934) 에 의해 쉽게 유도된다.

Gelfond-Schneider 정리 (1934)

다음 조건을 만족하면 a^b는 초월수이다.

1. a가 0, 1이 아닌 대수적 수이다.
2. b가 대수적 수이며 무리수이다.

그렇지만 막상 \sqrt{2}^\sqrt{2}가 초월수 혹은 무리수 임을 위의 정리를 사용하지 않고 증명하는 건 쉽지 않은 일인 것 같다.

@ 어제 ledi 가 물어왔을 때, 나 역시 직접 증명에 도전해 봤으나, 위의 정리를 이용하지 않고 증명에 성공하지 못했다.

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