반지름이 1인 원의 넓이가 \pi 라는 사실은 초등학교 때 이미 배워서 모두가 아는 사실이다. 그런데 그 원의 넓이에 대한 증명을 엄밀하게 배우는 것은 고등학교 미적분학 때이다. 그럼 [반지름이 1인 원의 넓이가 \pi ]라는 것을 증명해 보자.

반지름이 1인 원의 방정식 x^2+y^2=1 을 이용하여 일사분면의 넓이를 적분으로 계산한 후에 4배를 해 주면 된다.

S=4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx

여기서 우리는 x= \cos u 로 치환하여 계산을 하면 다음과 같이 된다.

S=4\int_{\pi/2}^{0} (- \sin^2 u) du = 4 \int_{o}^{\pi/2} \left( \frac{1}{2} - \frac{\cos 2u}{2} \right) du =4 \left[ \frac{u}{2} -\frac{\sin 2u}{4}\right]_0^{\pi/2} = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi

이 증명에서 우리는 \int \cos u du = \sin u +C 라는 사실을 이용했다. 이것은 미적분학의 기본정리에 의해 \frac{d}{du} \sin u = \cos u 로 부터 유도된다. 이 식은 어떻게 증명했을까?

미분의 정의에 의해서 다음과 같이 증명했다.

\frac{d}{du} \sin u = \lim_{h\to 0}\frac{\sin (u+h) - \sin u}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin u (\cos h -1) + \cos u \sin h }{h}

여기서 \lim_{h\to 0} \frac{\cos h -1}{h} = 0 이고 \lim_{h\to 0} \frac{\sin h }{h}=1 을 이용해서 위의 극한값이 \cos u 이 됨을 보였다.

그럼 마지막에 이용한 극한값인

\lim_{h\to 0} \frac{\sin h }{h}=1

은 어떻게 증명을 할까? 다음과 같은 그림을 하나 생각을 한다.

여기서 원의 반지름은 1이고, 중심각을 x 라 하자. 삼각형 OBC, 부채꼴 OBC, 그리고 삼각형 OBT 의 넓이가 각각 \frac{1}{2}\sin x, \frac{1}{2}x, \frac{1}{2}\tan x 가 되고, 그것은 다음과 같은 부등식을 만족한다.

\frac{1}{2}\sin x \leq \frac{1}{2}x \leq \frac{1}{2}\tan x

이것을 이용해서 식 변형 하여서

\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1

임을 보이고, 샌드위치 정리에 의해 \lim_{x\to 0} \frac{\sin x }{x}=1 보인다.

이 증명에서 우리는 부채꼴 OBC 의 넓이를 어떻게 구했을까? 그것은 반지름이 1인 원의 넓이가 \pi 라는 사실을 이용해서, 중심각의 비율인 \frac{x}{2\pi} 를 곱해서 얻었다. 그럼 다시 처음으로 돌아왔다.

부채꼴의 넓이를 구할 때 사용한 [반지름이 1인 원의 넓이가 \pi]라는 사실은 어떻게 구해야 할까?

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