반지름이 1인 원의 넓이가 \pi 라는 사실은 초등학교 때 이미 배워서 모두가 아는 사실이다. 그런데 그 원의 넓이에 대한 증명을 엄밀하게 배우는 것은 고등학교 미적분학 때이다. 그럼 [반지름이 1인 원의 넓이가 \pi ]라는 것을 증명해 보자.

반지름이 1인 원의 방정식 x^2+y^2=1 을 이용하여 일사분면의 넓이를 적분으로 계산한 후에 4배를 해 주면 된다.

S=4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx

여기서 우리는 x= \cos u 로 치환하여 계산을 하면 다음과 같이 된다.

S=4\int_{\pi/2}^{0} (- \sin^2 u) du = 4 \int_{o}^{\pi/2} \left( \frac{1}{2} - \frac{\cos 2u}{2} \right) du =4 \left[ \frac{u}{2} -\frac{\sin 2u}{4}\right]_0^{\pi/2} = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi

이 증명에서 우리는 \int \cos u du = \sin u +C 라는 사실을 이용했다. 이것은 미적분학의 기본정리에 의해 \frac{d}{du} \sin u = \cos u 로 부터 유도된다. 이 식은 어떻게 증명했을까?

미분의 정의에 의해서 다음과 같이 증명했다.

\frac{d}{du} \sin u = \lim_{h\to 0}\frac{\sin (u+h) - \sin u}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin u (\cos h -1) + \cos u \sin h }{h}

여기서 \lim_{h\to 0} \frac{\cos h -1}{h} = 0 이고 \lim_{h\to 0} \frac{\sin h }{h}=1 을 이용해서 위의 극한값이 \cos u 이 됨을 보였다.

그럼 마지막에 이용한 극한값인

\lim_{h\to 0} \frac{\sin h }{h}=1

은 어떻게 증명을 할까? 다음과 같은 그림을 하나 생각을 한다.

여기서 원의 반지름은 1이고, 중심각을 x 라 하자. 삼각형 OBC, 부채꼴 OBC, 그리고 삼각형 OBT 의 넓이가 각각 \frac{1}{2}\sin x, \frac{1}{2}x, \frac{1}{2}\tan x 가 되고, 그것은 다음과 같은 부등식을 만족한다.

\frac{1}{2}\sin x \leq \frac{1}{2}x \leq \frac{1}{2}\tan x

이것을 이용해서 식 변형 하여서

\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1

임을 보이고, 샌드위치 정리에 의해 \lim_{x\to 0} \frac{\sin x }{x}=1 보인다.

이 증명에서 우리는 부채꼴 OBC 의 넓이를 어떻게 구했을까? 그것은 반지름이 1인 원의 넓이가 \pi 라는 사실을 이용해서, 중심각의 비율인 \frac{x}{2\pi} 를 곱해서 얻었다. 그럼 다시 처음으로 돌아왔다.

부채꼴의 넓이를 구할 때 사용한 [반지름이 1인 원의 넓이가 \pi]라는 사실은 어떻게 구해야 할까?

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  2. 2011.04.12 18:26

    비밀댓글입니다

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.04.12 23:59 신고

      관련된 논문도 있군요. 여기에 나온 방법과 다른 완벽한 해결책이 있더군요.

    • 준식이 2011.04.14 00:27

      신비로운 비밀댓글이 궁금하군요ㅎㅎ
      혹시 관련된 논문의 제목을 알 수 있을까요?

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.04.14 13:11 신고

      위의 비밀글에 있던 논문은 [원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화] 입니다.
      http://tinyurl.com/cyg-hgj-circle
      이 논문에서 순환논법을 피하기 위해 여러가지 방법을 제시하지만, 기하학적인 직관이 필연적으로 필요하다고 말하고 있습니다. 하지만, 이 글에 남겨져 있는 피타고라스 님의 댓글처럼 기하학적인 직관도 피할 수 있는 방법이 있습니다. 그래서 이 논문의 결론에는 동의할 수 없더군요.

    • qseries 2011.04.19 09:53

      나도 피타고라스님 의견 흥미롭게 봤는데, 여기에도 곡선(호)의 길이를 적분으로 구하는 과정 자체에 기하적 직관이 들어가 있는 것 같아. 면적을 구하는 적분은 upper sum, lower sum으로 적분값을 제한시킬 수 있는데 길이의 적분은 lower sum만 있는 것 같네..

  3. 피타고라스 2011.04.13 01:05

    삼각함수를 완전히 피해가는 관점에서 코멘트를 해보았음. http://pythagoras0.springnote.com/pages/7577393

  4. 2011.05.17 14:56

    반지름 r인 원의 둘레가 2pi*r인 것을 알고 있으면, 그냥 이걸 적분하면 넓이가 나오지 않을까요? 다시 말해, 반지름 R인 원의 넓이를 구하기 위해 2pi*r*dr (반지름 r, 두께 dr인 구멍난 disk)를 0에서 R까지 적분하면 넓이가 나올 것 같은데요. 최소한 이 방법이 르벡적분의 sense로의 넓이를 줄 것 같고, 이게 우리가 보통 리만적분을 써서 정의하는 넓이와 같다는 것은 이미 알고 있는 사실이니, 최소한 반지름 1인 원의 넓이가 pi라는 것 자체는 사실이라고 생각하는데요.

    제가 너무 단순하게 생각하는 걸까요? 포인트를 짚지 못하고 있거나...

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.05.17 17:20 신고

      위와 같이 논증하든 말든, 반지름 1인 원의 넓이가 Pi 라는 건 사실은 변함이 없지요.
      제가 하고 싶었던 포인트는 우리가 배울 때 이미 순환논리로서 배웠고, 그것을 피하는 방법을 생각해 봐야 한다는 점입니다.

      그나저나 반지름 r, 두께 dr인 구멍난 disk에서 2Pi*r*dr 은 어떻게 계산하셨는지요?
      제 생각에는 이것 역시 원의 넓이 공식를 이용해
      Pi*(r+dr/2)^2 - Pi*(r-dr/2)^2 = 2Pi*r*dr
      로 계산한 것은 아닌지요?

    • 2011.05.17 18:14

      아, 그건 그냥 그 구멍난 disk를 잘라 펼쳐 만든 띠를 생각하면 그 넓이를 그렇게 approximate할 수 있으니까요. 물론 dr이 작다고 가정해야겠지요. 아무튼 무슨 말씀인지는 알겠습니다. 저는 이 글을 삼각함수의 미적분을 쓰지 않고, 뭔가 다른 방식으로 원의 넓이를 구하는 법을 찾아야 한다는 걸로 이해해서요.

    • 2011.05.17 18:20

      위키를 보니, 제가 말한 방법이 onion proof라는 방법으로 언급이 되어 있군요. 물론 다들 이미 알고 계시는 것이긴 하겠지만요.

      http://en.wikipedia.org/wiki/Area_of_a_disk

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.05.19 23:20 신고

      Onion proof 나 원을 잘게 쪼개서 재배열하여 직사각형으로 만들어도 근사치가 되어 워값에 수렴한다는 건데..
      이 증명들은, 기초적이긴 하지만, 사람의 직관에 의존하고 있는 것 같아 2% 부족한 느낌입니다.

  5. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.08.22 22:36

    그냥 무식하게? Lebesgue measure을 이용해도 될 것 같고 제가 생각하는 가장 좋은 방법은 일단 삼각함수를 Taylor series로 정의한 다음에 그렇게 정의한 삼각함수에 기하학적 의미를 주는 것입니다. 그리고 양수중에서 최초로 sinx=0이 나타나는 x를 원주율이라 정의하면?

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.08.23 13:47 신고

      삼각함수를 Taylor 시리즈로 정의하고 나서.. 기하학적 의미를 주는 게 그렇게 자명하지는 않습니다. 자세히 기술해 주세요. :)

  6. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.08.23 22:21

    제가 수학 중에서 기하학을 제일 못하는 편이라 잘 설명할 수는 없겠지만 먼저 Taylor series로 정의한 삼각함수를 cost(x), sint(x)라고 정의하면 먼저 cost하고 sint가 삼각함수의 덧셈공식을 만족한다는 것은 자명하고 이제 고등학교 방식으로 삼각함수를 정의해서 다시 거기에서의 삼각함수의 덧셈공식을 증명합니다. 이제 각각 실함수 f와 g가 실수 전체에서 연속이고 f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x), g(x+y)=fg(x)g(y)-f(x)f(y)를 만족하면 f(x)=sintx임을 증명하기만 하면 되며 이는 다시 f가 연속이고 f(x+y)=f(x)f(y)이면 임의의 상수 c에 대해서 f(x)=e^{cx}꼴이라는 것을 이용하면 증명됩니다. [간단히 저것을 만족하는 f,g가 f(x+y)+ig(x+y)=(f(x)+ig(x))(f(y)+ig(y))를 성립함을 알 수 있고 이제 h(x)=f(x)+ig(x)로 두기만 하면 되죠]

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.08.31 06:24 신고

      [이제 각각 실함수 f와 g가 실수 전체에서 연속이고 f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x), g(x+y)=fg(x)g(y)-f(x)f(y)를 만족하면 f(x)=sintx임을 증명하기만 하면 되며 이는 다시 f가 연속이고 f(x+y)=f(x)f(y)이면 임의의 상수 c에 대해서 f(x)=e^{cx}꼴이라는 것을 이용하면 증명됩니다.]
      이 부분에 자세한 풀이가 필요합니다.

  7. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.08.23 22:26

    하나 잘못된 것이 있어서 고칩니다. [패스워드 까먹 이런 ㅠ] i가 나올 때부터 f와 g가 뒤바뀌어 있네요 이런 ㅠ 그러니까 g(x+y)+if(x+y)꼴로 고치면 됩니다. 그리고 c를 결정하는 것은 쉬운 일이죠

  8. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.08.23 22:39

    아 하나 더 보충합니다. [제가 패스워드를 자주 까먹습니다. 이런 기억력좀 키워야 할텐데]고등학교 수준으로 증명한 삼각함수가 미적분이나 원의 넓이 따위를 전혀 쓰지 않고 연속임을 증명하는 일은 쉬운 일이죠 [간단히 합차공식이라고 이름붙은 정리를 쓰면 되니]그리고 제일 위에서 적당한 상수 a에 대해서 sint(ax)라는 것을 sintx로 잘못 썼네요 켁 그리고 a=1임을 증명하기만 하면 되죠 이는 원주율의 정의로부터 따라나오고 [f(x)=e^{ix}라는 함수의 복소평면에서의 기하학적 의미를 생각해 주면 [삼각함수 없이도 생각할 수 있습니다! 애초부터 모든 실수 x에 대해서 |e^{ix}|=1이거든요]e^{2πi}=1임을 알 수 있고 이로서 증명 끝!]

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.08.31 06:22 신고

      [f(x)=e^{ix}라는 함수의 복소평면에서의 기하학적 의미를 생각해 주면 [삼각함수 없이도 생각할 수 있습니다! 애초부터 모든 실수 x에 대해서 |e^{ix}|=1이거든요]e^{2πi}=1임을 알 수 있고 이로서 증명 끝!]
      다른 건 몰라도 위의 문장에는 동의하기 어렵네요.
      처음부터 exp(ix)의 함의 복소평면에서의 기하학적 의미를 생각하기 위해서 exp(ix)=cos(x) + i sin(x) 를 증명해야 합니다.
      이건 (기하학적 의미로 정의된) 삼각함수의 Taylor Series 로 증명을 하는데..
      그건 lim_{x->0} sin(x)/x = 1 임을 보여야 됩니다.

  9. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.04 12:32

    간단합니다. 님께서 말씀하시 공식은 '미적분' 의 도움이 전혀 없이 증명 가능합니다. [간 약간의 계산이 더 필요하겠지만요 물론 다른 가정도 하지 않습니다.]이 증명법은 네이버캐스트에도 가면 있는데 링크 걸기가 귀찮네요 ㅠ

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.04 23:14 신고

      네이버 캐스트 주소만 알려주면 좋을텐데요.. :)

  10. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.04 12:33

    게다가 첫번째로 말씀하신 부분은 상당히 쉬운 부분이라 계산을 뺐는데 필요하나요?

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.05 00:12 신고

      예, 필요합니다. 계산을 너무 건너 뛰었거든요. :)
      심지어 [(Taylor series로 정의한 삼각함수) cost하고 sint가 삼각함수의 덧셈공식을 만족한다는 것은 자명] 하다는 것도 자명한 계산은 아닌 것 같은데요.

  11. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.09 21:06

    Taylor series로 정의한 삼각함수가 덧셈공식을 만족한다는 것은 상당히 자명합니다. 그냥 e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}임은 간단하고 이제 e^{ix}=costx+isintx를 이용하면 되죠

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.10 06:30 신고

      e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy} 증명이 자명하지 않습니다. e^(복소수)를 어떻게 정의하는지 생각해야 되고, 이 경우에 왜 지수 법칙이 성립하는지 설명해야 됩니다.

  12. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.20 23:41

    왠만한 해석학 교과서에는 다 나오는 게 e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}의 증명입니다. 증명에 약간의 이항정리와 기초 해석학 이외에는 아무것도 이용하지 않죠 [물론 여기에서 지수함수는 테일러 급수로 정의한 삼각함수와 함께 Taylor series로 정의합니다.]

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.22 09:35 신고

      kimika 님께서 작성하신 몇 개의 쪼개진 댓글과 생략된 것을 추가해서 정리해 보겠습니다.

      1) exp(ix) = sum_{n=0}^{\\infty} x^n/n! 로 정의한다.
      2) sin(x) = sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{n+1} x^{2n+1}/(2n+1)! 로 정의한다.
      3) cos(x) = sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{n+1} x^{2n}/(2n)! 로 정의한다.
      4) 위의 정의에 의해 exp(ix) = cos(x) + i sin(x) 가 성립한다.
      5) 이항정리와 기초해석학을 이용하여 exp(i(x+y)) = exp(ix)exp(iy) 을 증명한다.
      6) 따라서 (cos(x+y) + isin(x+y)) = (cos(x) + isin(x)) (cos(y) + isin(y)) = (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)) + i(sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)) 를 만족한다.
      7) 그러므로 2)와 3)에서 정의한 sin(x) 와 cos(x) 는 삼각함수의 덧셈공식을 만족한다.
      8) 또한 |exp(ix)| = |cos(x) + i sin(x)| = \\sqrt(cos^2(x) + sin^2(x))

      여기까지가 덧글의 내용입니다.
      7)번이 [2)와 3)에서 정의된 함수가 (직각삼각형의 길이의 비로 정의된) 삼각함수] 라는 것을 증명하지 않습니다.
      이런 이유로 8)번이 [모든 실수 x에 대해 |exp(ix)|=1 이다]는 것과 동치가 되지 않고, exp(2\\pi i)=1 이라는 것도 증명되지 않았습니다.

  13. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.21 22:42

    제가 말실력이 많이 없네요 ㅠ
    그러면 이제 전에도 말했듯이 삼각함수를 고등학교 방식으로 정의해서 거기에서 삼각함수의 덧셈공식을 보입니다. 그러면 간단한 계산과 해석학에 의해서 테일러 급수로 정의한 삼각함수를 cost따위로 쓰면 적당한 상수 a에 대해서 costx=cosax, sintx=sinax임을 보일 수 있습니다. 이제 a=1임을 증명해야 하는데 만일 저게 1이 되지 못한다면 sinx/x는 x를 0으로 보낸 값이 a가 될 것입니다. 그런데 우리는 저 부채꼴에서 현의 길이와 바로 옆에 있는 짧은 선분의 길이를 비교해서 0<a≤1임을 알 수 있죠
    역시 그것을 쓰지 않고서는 힘들겠네요 ㅠ [그것이란 구분구적법 그러면 이런 어려운 과정을 거치지 않고 한방에 구할 수 있죠 error term도 0이 됨을 손쉽게 증명할 수 있고]

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.22 10:01 신고

      이 글의 핵심내용은 [단위원의 넓이가 \\Pi] 와 [lim_{h->0} sing(h)/h = 1] 가 동치라는 것을 보인 것입니다.
      둘 중 하나를 증명하기 위해 다른 하나가 참인 것을 이용하면 안 된다는 것이죠. 반대로 증명을 위해서 둘 중 하나만 독립적으로 증명하면 됩니다.

      마지막 질문. 구분구적법을 쓰면 한방에 구할 수 있다는데.. 무엇을 보인다는 거죠? 원의 넓이인가요? lim_{h->0} sing(h)/h = 1 인가요? 그리고 어떻게 증명하나요? 쉬운 방법이 있으면 알려주세요.

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.23 06:40 신고

      테일러 급수로 정의된 삼각함수를 sint(x), cost(x)로 기하학적으로 정의된 삼각함수는 sing(x), cosg(x) 라고 합시다.

      1) sint(x) = sing(ax), cost(x) = cosg(ax) 임을 증명한 간단한 계산과 해석학은 무엇인지요?
      2) 위의 것이 성립되면, lim_{h->0} sint(x)/x = 1 이므로, lim_{h->0} sing(h)/h = 1/a 입니다.
      3) 직선 BC의 길이 2sing(x/2) <= 호 BC의 길이 x 이므로 lim_{h->0} sing(h/2)/(h/2) <= 1 입니다.
      4) a>=1 임을 증명했습니다.

      여기까지 하셨습니다. a<=1 은 아직 증명되지 않았습니다.

  14. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.23 23:04

    계산 실수를 하나 해버렸군요 ㅠ
    costx=cosg(ax)하고 sintx=sing(ax)임은 간단히 구할 수 있습니다. 한 기초해석학 연습문제보다도 약간 쉬울 듯 한데 앞에서도 이것은 열심히 설명했어요
    간단히 원을 삼각형으로 쪼갭시다. [저기에서 기하학적 방법을 이용하니 저도 기하학적 방법을 이용해도 되죠?]그것도 n개의 합동인 삼각형으로, 그리고 모든 삼각형의 최소한 하나의 변이 원의 중심에 있게요 [악 설명이 힘드네요 기하학은 워낙 못해서 ㅠ]그러면 여러가지 근사를 이용하면 됩니다. 일단 여기에서 이용하는 게 반지름이 1인 원의 둘레는 2π라는 것과 원이 smooth하다는 것

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.24 07:31 신고

      cost(x)=cosg(ax)이고 sint(x)=sing(ax) 을 보이는 것이 [기초해석학 연습문제보다 약간 쉬울 듯 하다지만] 아직 증명하지 못하셨습니다. 위에서 설명한 댓글은 충분하지 않습니다.
      정의에 의해서 exp(ix) = cost(x) + i sint(x) 이지만, exp(ix) = cosg(x) + i sing(x) 인지 증명하지 않았습니다.
      이 상태에서 cost(x)=cosg(ax)이고 sint(x)=sing(ax) 인지 자명한 증명을 보여주세요.

  15. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.24 00:17

    물론 원을 무작정 삼각형으로 쪼개는 것이 아니고 서로 같은 n개의 이등변 삼각형을 만들고 그것을 이어 붙힙니다. 보통 고등학교 수학에 나오는 방법인데 그것을 해석학으로 더 엄밀히 하면 됩니다.

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.24 07:48 신고

      초등학교때 배우던, 중심각을 2\Pi/n 이 되는 n개의 부채꼴로 나누고, 그것을 서로 뒤집어 붙인다음에 n을 무한대로 보내면 직사각형이 되니 그것으로 증명하겠다는 것이군요.
      이것의 해석학으로 엄밀하게 하면 된다는 건데, 한 번 시도해 보시길 바랍니다.

      아직 아마추어인 듯 하니, 제가 좀 더 도움을 주겠습니다. 위의 명제는, 해석학적인 용어로 바꾸면, 글에 있는 그림에서 삼각형 OBC 와 부채꼴 OBC 의 넓이의 비가, x가 0으로 갈때, 1이 된다는 것과 동치인 명제입니다. 따라서 (삼각형 OBC) <= (부채꼴 OBC) 은 자명하므로, lim_{x->0} (삼각형 OBC)/(부채꼴 OBC) >=1 임을 증명하면 됩니다. 여전히 반쪽 증명이 남았습니다.

  16. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.24 20:14

    앞에서도 여러번 말했듯이 일단 sint와 cost의 덧셈공식을 보인 다음에 sing와 cosg의 덧셈공식을 보이고 유명한 정리인 'f,g가 실수 집합 전체에서 연속이고 모든 실수 x,y에 대해서 f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y), g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)이면 f(x)=sint(ax), g(x)=cost(ax)이다' 라는 정리를 이용하면 됩니다.

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.25 14:25 신고

      저도 여러번 질문했듯이 [f,g가 실수 집합 전체에서 연속이고 모든 실수 x,y에 대해서 f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y), g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)이면 f(x)=sint(ax), g(x)=cost(ax)이다] 를 증명해 주세요. (제가 이거 증명을 못해서 질문하는 건 아닙니다.)

  17. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.24 20:18

    그 정도는 누구나도 쉽게 간파할 수 있죠 아무리 허접 아마추어라도
    일단 원에서 남는 부분을 직사각형을 이용해서 더 크게 잡고 그 직사각형들의 넓이의 합이 0으로 감을 증명함과 동시에 높이와 빗변을 근사시킬 떄의 error term을 계산하면 끝날 것 같네요
    네 저는 아직 대학교에 들어가본 적도 없는 허접 고등학생입니다 ㅠ [언제 남중남고에서 벗어나지요]

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.09.25 14:38 신고

      구분구적번을 통해서 (lim_{x->0} sin(x)/x = 1 을 증명하는 것이 아니라,) 단위원의 넓이가 \Pi 임을 보이겠다는 것이군요.

      근데 높이가 중심각을 잘게 쪼개면 높이가 1로 근사한다지만, 부채꼴을 이어붙인 호의 길이가 반원의 길이, 즉 \Pi, 직사각형의 폭으로 수렴한다는 건 어떻게 엄밀하게 보이실 수 있는지요?

  18. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.09.30 23:37

    그건 원의 smoothness를 이용합니다. [원이 smooth한다는 것 쯤이야 원의 방정식으로 자명하지요]이걸 이용 안하면 (lim_{x->0} sin(x)/x = 1를 이용해야 한다는 참사가 벌어지지요 이제 원이 smooth하므로 근사시킬 때 갑자기 원이 구부러진 데가 있어서 대량의 오차가 생기는 일 없이 자연스롭게 근사시킬 수 있습니다. 아니 굳이 smoothness를 이용하지 않아도 간단한 기초 기하학으로 선분의 길이들의 합이 2pi에 수렴함을 밝힐 수 있겠네요 [간단히 부채꼴을 하나 봤을 때 그 부채꼴과 거기에 들어가는 삼각형을 생각했을 때 위에 남는 활꼴은 부채꼴이 작아질수록 선분에 가까이 되버리고 이제 부채꼴의 정의로 그 선분이 구부려지는 일 따윈 없습니다. [자세하게 적기는 힘드네요 ㅠ]]

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.10.02 17:01 신고

      smoothness 를 이용한다는 게 뭔지 모르겠군요. 수학적이지 않아요.

      또한 기초기하학으로 보일 수 있다는 게 뭐죠?
      S_n 을 유한한 선분들의 합을 표현하는 집합이라 하고 그 집합들의 원소 개개인들의 극한점들을 모아서 만든 집합을 S라고 할 때..
      lim_{n->inf} len(S_n) = len(lim_{n->inf} S_n) (=len(s)) 임을 증명해야 합니다.
      아직은 증명하지 못했습니다.

      제 블로그에 지금 14개의 댓글을 달았는데, 지금까지 생산적이지 않은 것 같습니다.
      충분히 자신의 논리를 펼쳤지만, kimika 님께서는 해결하지 못한 것 같습니다.
      앞으로는 제 이메일이나 다른 통로로 의견을 주시면 좋겠네요.

  19. Favicon of http://http://klnoru.tistory.com/ kimika 2011.10.03 12:47

    죄송합니다...
    일단 댓글로 알려주는 것은 힘들 것 같고 제가 워낙 설명력이 부족해서 그런지 제 아이디어의 설명이 잘 전해지지가 않네요...
    참 저도 엄청나게 바보지요 이딴 것도 해결 못하고... 왠지 너무 우울하네요... 진짜 울고 싶네요... 막상 풀이 보면 아이디어도 거의 사용 안하고 너무 쉬울 텐데...
    아마도 테일러 급수를 이용하는 것 같은데 a=1을 보이는 것이 너무나도 어렵고... 제가 기하학 실력이 보통 사람들보나 너무나도 딸려서 그런 걸까요... 순간 수학 그만 두자는 생각도 드네요...
    일단 모두 집어 치우고 a=1임을 보여야 하는데 중등 심화 문제도 못푸는 제 기하 실력으로는 무리인 것 같네요... 일단 a≥1임은 확실하고 a≤1은 큰 삼각형의 높이를 이용하면 될 것 같지만 왠지 계속 틀리기만 한 저로서는 아닌 것 같고... 의욕을 잃어버렸네요... 보통 삼각함수는 그냥 e^{ix}의 실수부, 허수부쯤으로만 사용했는데 이렇게 하는 건 난생 처음이네요...

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2011.10.04 13:56 신고

      어차피 대학 1학년까지는 위의 구멍을 메우지 않고 학습합니다. 다른 분들의 댓글에 좋은 해결책들이 있으니, 그 해결책을 받아 들이는 것도 방법입니다.

  20. kimika 2011.10.04 22:05

    위키 보니까 정말 놀랍네요... 간단히 적분을 이용하다니... 그 외에 엄밀화하는 것은 간단히 Riemann Integration이나 Lebesgue measure을 이용하면 쉬우니까 그것으로 끝... 왠지 미적분학을 전혀 안한 제가 좀 그렇군요...

  21. anoymous 2012.03.02 14:53

    qseries 의 의견에 대해서는 어떻게 생각하시는지요..
    나도 피타고라스님 의견 흥미롭게 봤는데, 여기에도 곡선(호)의 길이를 적분으로 구하는 과정 자체에 기하적 직관이 들어가 있는 것 같아. 면적을 구하는 적분은 upper sum, lower sum으로 적분값을 제한시킬 수 있는데 길이의 적분은 lower sum만 있는 것 같네..

    저도 위 부분[곡선(호)의 길이를 적분으로 구하는 과정]이 아르키미데스가 쓴 방법과는 본질적으로는 동일한 것으로 보여서요.

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