반지름이 1인 원의 넓이가
반지름이 1인 원의 방정식
여기서 우리는
이 증명에서 우리는
미분의 정의에 의해서 다음과 같이 증명했다.
여기서
그럼 마지막에 이용한 극한값인
은 어떻게 증명을 할까? 다음과 같은 그림을 하나 생각을 한다.
여기서 원의 반지름은 1이고, 중심각을
이것을 이용해서 식 변형 하여서
임을 보이고, 샌드위치 정리에 의해
이 증명에서 우리는 부채꼴 OBC 의 넓이를 어떻게 구했을까? 그것은 반지름이 1인 원의 넓이가
부채꼴의 넓이를 구할 때 사용한 [반지름이 1인 원의 넓이가
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피타고라스 2011.04.13 01:05
삼각함수를 완전히 피해가는 관점에서 코멘트를 해보았음. http://pythagoras0.springnote.com/pages/7577393
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달 2011.05.17 14:56
반지름 r인 원의 둘레가 2pi*r인 것을 알고 있으면, 그냥 이걸 적분하면 넓이가 나오지 않을까요? 다시 말해, 반지름 R인 원의 넓이를 구하기 위해 2pi*r*dr (반지름 r, 두께 dr인 구멍난 disk)를 0에서 R까지 적분하면 넓이가 나올 것 같은데요. 최소한 이 방법이 르벡적분의 sense로의 넓이를 줄 것 같고, 이게 우리가 보통 리만적분을 써서 정의하는 넓이와 같다는 것은 이미 알고 있는 사실이니, 최소한 반지름 1인 원의 넓이가 pi라는 것 자체는 사실이라고 생각하는데요.
제가 너무 단순하게 생각하는 걸까요? 포인트를 짚지 못하고 있거나... -
kimika 2011.08.22 22:36
그냥 무식하게? Lebesgue measure을 이용해도 될 것 같고 제가 생각하는 가장 좋은 방법은 일단 삼각함수를 Taylor series로 정의한 다음에 그렇게 정의한 삼각함수에 기하학적 의미를 주는 것입니다. 그리고 양수중에서 최초로 sinx=0이 나타나는 x를 원주율이라 정의하면?
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제가 수학 중에서 기하학을 제일 못하는 편이라 잘 설명할 수는 없겠지만 먼저 Taylor series로 정의한 삼각함수를 cost(x), sint(x)라고 정의하면 먼저 cost하고 sint가 삼각함수의 덧셈공식을 만족한다는 것은 자명하고 이제 고등학교 방식으로 삼각함수를 정의해서 다시 거기에서의 삼각함수의 덧셈공식을 증명합니다. 이제 각각 실함수 f와 g가 실수 전체에서 연속이고 f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x), g(x+y)=fg(x)g(y)-f(x)f(y)를 만족하면 f(x)=sintx임을 증명하기만 하면 되며 이는 다시 f가 연속이고 f(x+y)=f(x)f(y)이면 임의의 상수 c에 대해서 f(x)=e^{cx}꼴이라는 것을 이용하면 증명됩니다. [간단히 저것을 만족하는 f,g가 f(x+y)+ig(x+y)=(f(x)+ig(x))(f(y)+ig(y))를 성립함을 알 수 있고 이제 h(x)=f(x)+ig(x)로 두기만 하면 되죠]
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아 하나 더 보충합니다. [제가 패스워드를 자주 까먹습니다. 이런 기억력좀 키워야 할텐데]고등학교 수준으로 증명한 삼각함수가 미적분이나 원의 넓이 따위를 전혀 쓰지 않고 연속임을 증명하는 일은 쉬운 일이죠 [간단히 합차공식이라고 이름붙은 정리를 쓰면 되니]그리고 제일 위에서 적당한 상수 a에 대해서 sint(ax)라는 것을 sintx로 잘못 썼네요 켁 그리고 a=1임을 증명하기만 하면 되죠 이는 원주율의 정의로부터 따라나오고 [f(x)=e^{ix}라는 함수의 복소평면에서의 기하학적 의미를 생각해 주면 [삼각함수 없이도 생각할 수 있습니다! 애초부터 모든 실수 x에 대해서 |e^{ix}|=1이거든요]e^{2πi}=1임을 알 수 있고 이로서 증명 끝!]
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[f(x)=e^{ix}라는 함수의 복소평면에서의 기하학적 의미를 생각해 주면 [삼각함수 없이도 생각할 수 있습니다! 애초부터 모든 실수 x에 대해서 |e^{ix}|=1이거든요]e^{2πi}=1임을 알 수 있고 이로서 증명 끝!]
다른 건 몰라도 위의 문장에는 동의하기 어렵네요.
처음부터 exp(ix)의 함의 복소평면에서의 기하학적 의미를 생각하기 위해서 exp(ix)=cos(x) + i sin(x) 를 증명해야 합니다.
이건 (기하학적 의미로 정의된) 삼각함수의 Taylor Series 로 증명을 하는데..
그건 lim_{x->0} sin(x)/x = 1 임을 보여야 됩니다.
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간단합니다. 님께서 말씀하시 공식은 '미적분' 의 도움이 전혀 없이 증명 가능합니다. [간 약간의 계산이 더 필요하겠지만요 물론 다른 가정도 하지 않습니다.]이 증명법은 네이버캐스트에도 가면 있는데 링크 걸기가 귀찮네요 ㅠ
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Taylor series로 정의한 삼각함수가 덧셈공식을 만족한다는 것은 상당히 자명합니다. 그냥 e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}임은 간단하고 이제 e^{ix}=costx+isintx를 이용하면 되죠
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왠만한 해석학 교과서에는 다 나오는 게 e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}의 증명입니다. 증명에 약간의 이항정리와 기초 해석학 이외에는 아무것도 이용하지 않죠 [물론 여기에서 지수함수는 테일러 급수로 정의한 삼각함수와 함께 Taylor series로 정의합니다.]
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kimika 님께서 작성하신 몇 개의 쪼개진 댓글과 생략된 것을 추가해서 정리해 보겠습니다.
1) exp(ix) = sum_{n=0}^{\\infty} x^n/n! 로 정의한다.
2) sin(x) = sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{n+1} x^{2n+1}/(2n+1)! 로 정의한다.
3) cos(x) = sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^{n+1} x^{2n}/(2n)! 로 정의한다.
4) 위의 정의에 의해 exp(ix) = cos(x) + i sin(x) 가 성립한다.
5) 이항정리와 기초해석학을 이용하여 exp(i(x+y)) = exp(ix)exp(iy) 을 증명한다.
6) 따라서 (cos(x+y) + isin(x+y)) = (cos(x) + isin(x)) (cos(y) + isin(y)) = (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)) + i(sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)) 를 만족한다.
7) 그러므로 2)와 3)에서 정의한 sin(x) 와 cos(x) 는 삼각함수의 덧셈공식을 만족한다.
8) 또한 |exp(ix)| = |cos(x) + i sin(x)| = \\sqrt(cos^2(x) + sin^2(x))
여기까지가 덧글의 내용입니다.
7)번이 [2)와 3)에서 정의된 함수가 (직각삼각형의 길이의 비로 정의된) 삼각함수] 라는 것을 증명하지 않습니다.
이런 이유로 8)번이 [모든 실수 x에 대해 |exp(ix)|=1 이다]는 것과 동치가 되지 않고, exp(2\\pi i)=1 이라는 것도 증명되지 않았습니다.
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제가 말실력이 많이 없네요 ㅠ
그러면 이제 전에도 말했듯이 삼각함수를 고등학교 방식으로 정의해서 거기에서 삼각함수의 덧셈공식을 보입니다. 그러면 간단한 계산과 해석학에 의해서 테일러 급수로 정의한 삼각함수를 cost따위로 쓰면 적당한 상수 a에 대해서 costx=cosax, sintx=sinax임을 보일 수 있습니다. 이제 a=1임을 증명해야 하는데 만일 저게 1이 되지 못한다면 sinx/x는 x를 0으로 보낸 값이 a가 될 것입니다. 그런데 우리는 저 부채꼴에서 현의 길이와 바로 옆에 있는 짧은 선분의 길이를 비교해서 0<a≤1임을 알 수 있죠
역시 그것을 쓰지 않고서는 힘들겠네요 ㅠ [그것이란 구분구적법 그러면 이런 어려운 과정을 거치지 않고 한방에 구할 수 있죠 error term도 0이 됨을 손쉽게 증명할 수 있고]-
이 글의 핵심내용은 [단위원의 넓이가 \\Pi] 와 [lim_{h->0} sing(h)/h = 1] 가 동치라는 것을 보인 것입니다.
둘 중 하나를 증명하기 위해 다른 하나가 참인 것을 이용하면 안 된다는 것이죠. 반대로 증명을 위해서 둘 중 하나만 독립적으로 증명하면 됩니다.
마지막 질문. 구분구적법을 쓰면 한방에 구할 수 있다는데.. 무엇을 보인다는 거죠? 원의 넓이인가요? lim_{h->0} sing(h)/h = 1 인가요? 그리고 어떻게 증명하나요? 쉬운 방법이 있으면 알려주세요. -
테일러 급수로 정의된 삼각함수를 sint(x), cost(x)로 기하학적으로 정의된 삼각함수는 sing(x), cosg(x) 라고 합시다.
1) sint(x) = sing(ax), cost(x) = cosg(ax) 임을 증명한 간단한 계산과 해석학은 무엇인지요?
2) 위의 것이 성립되면, lim_{h->0} sint(x)/x = 1 이므로, lim_{h->0} sing(h)/h = 1/a 입니다.
3) 직선 BC의 길이 2sing(x/2) <= 호 BC의 길이 x 이므로 lim_{h->0} sing(h/2)/(h/2) <= 1 입니다.
4) a>=1 임을 증명했습니다.
여기까지 하셨습니다. a<=1 은 아직 증명되지 않았습니다.
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계산 실수를 하나 해버렸군요 ㅠ
costx=cosg(ax)하고 sintx=sing(ax)임은 간단히 구할 수 있습니다. 한 기초해석학 연습문제보다도 약간 쉬울 듯 한데 앞에서도 이것은 열심히 설명했어요
간단히 원을 삼각형으로 쪼갭시다. [저기에서 기하학적 방법을 이용하니 저도 기하학적 방법을 이용해도 되죠?]그것도 n개의 합동인 삼각형으로, 그리고 모든 삼각형의 최소한 하나의 변이 원의 중심에 있게요 [악 설명이 힘드네요 기하학은 워낙 못해서 ㅠ]그러면 여러가지 근사를 이용하면 됩니다. 일단 여기에서 이용하는 게 반지름이 1인 원의 둘레는 2π라는 것과 원이 smooth하다는 것 -
물론 원을 무작정 삼각형으로 쪼개는 것이 아니고 서로 같은 n개의 이등변 삼각형을 만들고 그것을 이어 붙힙니다. 보통 고등학교 수학에 나오는 방법인데 그것을 해석학으로 더 엄밀히 하면 됩니다.
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초등학교때 배우던, 중심각을 2\Pi/n 이 되는 n개의 부채꼴로 나누고, 그것을 서로 뒤집어 붙인다음에 n을 무한대로 보내면 직사각형이 되니 그것으로 증명하겠다는 것이군요.
이것의 해석학으로 엄밀하게 하면 된다는 건데, 한 번 시도해 보시길 바랍니다.
아직 아마추어인 듯 하니, 제가 좀 더 도움을 주겠습니다. 위의 명제는, 해석학적인 용어로 바꾸면, 글에 있는 그림에서 삼각형 OBC 와 부채꼴 OBC 의 넓이의 비가, x가 0으로 갈때, 1이 된다는 것과 동치인 명제입니다. 따라서 (삼각형 OBC) <= (부채꼴 OBC) 은 자명하므로, lim_{x->0} (삼각형 OBC)/(부채꼴 OBC) >=1 임을 증명하면 됩니다. 여전히 반쪽 증명이 남았습니다.
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앞에서도 여러번 말했듯이 일단 sint와 cost의 덧셈공식을 보인 다음에 sing와 cosg의 덧셈공식을 보이고 유명한 정리인 'f,g가 실수 집합 전체에서 연속이고 모든 실수 x,y에 대해서 f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y), g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)이면 f(x)=sint(ax), g(x)=cost(ax)이다' 라는 정리를 이용하면 됩니다.
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그 정도는 누구나도 쉽게 간파할 수 있죠 아무리 허접 아마추어라도
일단 원에서 남는 부분을 직사각형을 이용해서 더 크게 잡고 그 직사각형들의 넓이의 합이 0으로 감을 증명함과 동시에 높이와 빗변을 근사시킬 떄의 error term을 계산하면 끝날 것 같네요
네 저는 아직 대학교에 들어가본 적도 없는 허접 고등학생입니다 ㅠ [언제 남중남고에서 벗어나지요] -
그건 원의 smoothness를 이용합니다. [원이 smooth한다는 것 쯤이야 원의 방정식으로 자명하지요]이걸 이용 안하면 (lim_{x->0} sin(x)/x = 1를 이용해야 한다는 참사가 벌어지지요 이제 원이 smooth하므로 근사시킬 때 갑자기 원이 구부러진 데가 있어서 대량의 오차가 생기는 일 없이 자연스롭게 근사시킬 수 있습니다. 아니 굳이 smoothness를 이용하지 않아도 간단한 기초 기하학으로 선분의 길이들의 합이 2pi에 수렴함을 밝힐 수 있겠네요 [간단히 부채꼴을 하나 봤을 때 그 부채꼴과 거기에 들어가는 삼각형을 생각했을 때 위에 남는 활꼴은 부채꼴이 작아질수록 선분에 가까이 되버리고 이제 부채꼴의 정의로 그 선분이 구부려지는 일 따윈 없습니다. [자세하게 적기는 힘드네요 ㅠ]]
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smoothness 를 이용한다는 게 뭔지 모르겠군요. 수학적이지 않아요.
또한 기초기하학으로 보일 수 있다는 게 뭐죠?
S_n 을 유한한 선분들의 합을 표현하는 집합이라 하고 그 집합들의 원소 개개인들의 극한점들을 모아서 만든 집합을 S라고 할 때..
lim_{n->inf} len(S_n) = len(lim_{n->inf} S_n) (=len(s)) 임을 증명해야 합니다.
아직은 증명하지 못했습니다.
제 블로그에 지금 14개의 댓글을 달았는데, 지금까지 생산적이지 않은 것 같습니다.
충분히 자신의 논리를 펼쳤지만, kimika 님께서는 해결하지 못한 것 같습니다.
앞으로는 제 이메일이나 다른 통로로 의견을 주시면 좋겠네요.
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죄송합니다...
일단 댓글로 알려주는 것은 힘들 것 같고 제가 워낙 설명력이 부족해서 그런지 제 아이디어의 설명이 잘 전해지지가 않네요...
참 저도 엄청나게 바보지요 이딴 것도 해결 못하고... 왠지 너무 우울하네요... 진짜 울고 싶네요... 막상 풀이 보면 아이디어도 거의 사용 안하고 너무 쉬울 텐데...
아마도 테일러 급수를 이용하는 것 같은데 a=1을 보이는 것이 너무나도 어렵고... 제가 기하학 실력이 보통 사람들보나 너무나도 딸려서 그런 걸까요... 순간 수학 그만 두자는 생각도 드네요...
일단 모두 집어 치우고 a=1임을 보여야 하는데 중등 심화 문제도 못푸는 제 기하 실력으로는 무리인 것 같네요... 일단 a≥1임은 확실하고 a≤1은 큰 삼각형의 높이를 이용하면 될 것 같지만 왠지 계속 틀리기만 한 저로서는 아닌 것 같고... 의욕을 잃어버렸네요... 보통 삼각함수는 그냥 e^{ix}의 실수부, 허수부쯤으로만 사용했는데 이렇게 하는 건 난생 처음이네요...
