애기_똥풀님 블로그에서 가져온 문제입니다.

다음 적분을 계산하여라.

\int \dfrac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1+\sqrt{x}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} dx

위의 문제를 보자마자 재밌는 문제라고 생각해서 바로 풀어 보았습니다. 한 눈에도 분모는 다음 형태의 식

1+\sqrt{x}

을 반복적으로 가지고 있음을 알 수 있습니다. 그것을 이용하여 다음과 같은 풀이를 만들었습니다.

f(x) = 1+\sqrt{x} 라고 하면, f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}이다.

\frac{d}{dx}\left( f(f(f(x)) \right) = f'(x) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(f(f(x))) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(x)}} \cdot \frac{1}{\sqrt{f(f(x))}}

그래서,

\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{f(x)} \sqrt{f(f(x))}} dx = 8 f(f(f(x))) + C = 8 \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}} + C.

이 풀이의 좋은 점은 반복되는 식을 이용했다는 점 때문에, 다음과 같은 확장된 형태의 식 역시 성립함을 증명할 수 있습니다.

\small \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1+\sqrt{x}} \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} } dx = 16 \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}} + C.

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  1. Favicon of http://gururu.tistory.com 성큰 2009.06.25 16:30

    마지막으로 미/적분을 해 본지 만 7년이 다 되어가니..
    풀이 첫 줄에 f(x)를 미분하면 1 / 2sqrt(x) 가 된다는 말에서 멍해지는군요.
    기억을 더듬어 보니 중학교 때 배웠던 것 같기도 해요. ㅋㅋㅋ
    리커전은 익숙한데.. 흐흐

    그나저나 이 포스팅 덕에 마지막 미/적분 날짜가 갱신되어 버렸군뇨. 우후후.

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2009.06.25 18:13 신고

      그래도 공돌이인데..
      수학과외라도 할려면, 이 정도 쯤은 가볍게 해야 하지 않을까? ㅎㅎ

    • Favicon of https://gguro.com (gguro) 2009.06.26 20:06 신고

      헉, 이 정도 쯤은 가볍게라니.
      뭐 풀 수는 있어야 되겠지만. 크크

    • Favicon of https://blog.hshin.info Ens 2009.06.26 22:32 신고

      KAIST 재학생 혹은 졸업생이라면.. 이 정도는 가볍게.. 아닌가?

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